RELAÇÕES MÉTRICAS NO TRIÂNGULO RETÂNGULO

EQUAÇÃO DO AMOR

Vamos considerar os números reais positivos a, t, e, o, m. Obteremos o valor real de x na equação:

 

Vamos elevar os dois membros da igualdade ao quadrado, obtendo:

 

 

Multiplicando ambos os membros por mo (sendo mo ≠ 0), obtemos:

Considerando a ≠ 0, vamos dividir os dois lados da igualdade por a, obtendo:

 

Protanto:

 

Arte e Matemática - O NÚMERO DE OURO E FIBONACCI

 

O NÚMERO DE OURO E FIBONACCI

O fascínio pelo número de ouro, data de há mais de 2 000 anos.  Os "antigos" aperceberam-se que a arte e a arquitetura baseadas na razão de ouro, eram invulgarmente agradáveis à vista. A razão de ouro começou por ser definida em termos geométricos

O número de ouro pode ser encontrado através da razão da largura e do comprimento de um retângulo de ouro.

 

Mas antes de prosseguirmos, iremos explicar o que se entende por retângulo de ouro.

Denomina-se retângulo de ouro, um retângulo que, quando é dividido em duas partes e em que uma dessas partes seja um quadrado, então o que resta terá que ser um retângulo com as mesmas proporções do retângulo inicial.

Consideremos então o seguinte retângulo de ouro:

Se retirarmos a este retângulo o quadrado de lado x ( o quadrado a ), obtém-se o novo retângulo de ouro (o retângulo b) de dimensões x e y – x. Repetindo a operação, obtém-se a seguinte sequência de retângulos de ouro (retângulo de cor amarela):

 

 

 

figura tirada de: http://forum.swarthmore.edu/dr.math/faq/faq.golden.ratio.html

 

O processo anterior pode-se realizar de forma inversa. Em vez de se ir dividindo o retângulo inicial num retângulo de ouro e num quadrado, partir-se-á de um quadrado de forma a obter sucessivos retângulos de ouro:

figuras tiradas de: http://forum.swarthmore.edu/dr.math/faq/faq.golden.ratio.html

http://www.mcs.surrey.ac.uk/Personal/R.Knott/Fibonacci/fibnat.html

Como podemos observar pelo desenho, os números que vão aparecendo em cada novo quadrado, são números de Fibonacci.

Esta figura mostra, como se pode desenhar uma espiral, unindo quartos de círculos em cada novo quadrado (inscrito no retângulo de ouro). A espiral obtida é conhecida como a espiral de Fibonacci.

Mas o que é que o número de ouro tem a ver com a sucessão de Fibonacci?

O número de ouro tem o valor j = ( 1 + Ö 5 )/2 (= 1,618 033 989...)

Como se lembram da secção da Sucessão de Fibonacci, temos a seguinte sequência de números 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233....

Se dividirmos cada um destes números pelo seu antecedente, reparamos que essa razão vai tender para um certo valor.

Isto é, se fizermos F₂/F₁=1; F₃/F₂=2; F₄/F₃=1,5; F₅/F₄=1,6(6); F₆/F₅=1,6 e se continuarmos assim sucessivamente, obtemos a seguinte sequência de números:

 

1,000 000; 2,000 000; 1,500 000; 1,666 666; 1,600 000; 1.625 000; 1,615 385; 1,619 048; 1,617 647; 1,618 182; 1,617 978; 1,618 056; 1,618 026; 1,618 037; 1,618 033; ... 

Então F_n+1/F_n aproxima-se cada vez mais de j(Phi) 

Esta expansão decimal prolongar-se-á sem nunca se repetir (logo é um número irracional) número irracional).

De fato, quando se prolongam estas "razões de Fibonacci" indefinidamente, o valor gerado aproxima-se cada vez mais do número de ouro.

 

Para saber mais:

http://www.educ.fc.ul.pt/~icm11/contracapa.htm

http://www.educ.fc.ul.pt/~icm17/ouro.htm

 

As maravilhas da seguencia de Fibonacci!

 

 

MÚSICA E MATEMÁTICA

(clique e aprenda muito!)

 

 

 

 

Logaritmos Decimais

Vimos que os logaritmos na base 10 podem ser expressos sem se explicitar a base, assim o log₁₀ 1000 pode ser expresso simplesmente por log 1000.

Na introdução aos logaritmos vimos também que o logaritmo de 1000 na base 10 é igual a 3, isto é o log 1000 = 3, isto porque 10³ = 1000.

1000 é uma potência de 10 com expoente 3. Veja que o logaritmo de 1000 é o expoente da potência de 10, então para um expoente N, o log 10^N = N.

Vamos observar a tabela abaixo para alguns valores inteiros de N:

Note que nesta tabela só temos potências de dez com expoente inteiro, seja ele negativo, nulo ou positivo.

Se dela tomarmos duas linhas adjacentes, as linhas com N = 2 e N = 3, por exemplo, vemos que o log 100 = 2 e o log 1000 = 3. Isto quer dizer que o logaritmo de qualquer número real maior que 100 e menor que 1000 é maior que 2 e menor que 3.

Ainda pela tabela, se considerarmos o log 0,00001 = -5 e o log 0,0001 = -4, de forma análoga temos que o logaritmo de qualquer número real maior que 0,00001 e menor que 0,0001 é maior que -5 e menor que -4.

Seguindo este raciocínio, então o logaritmo de 50 deve ser 1 vírgula alguma coisa, pois 50 está entre 10 e 100, que têm o respectivo logaritmo: 1 e 2.

O logaritmo de 50, na base 10, é aproximadamente 1,698970.

De fato 1 < 1,698970 < 2 já que 10¹ < 50 < 10².

Característica e Mantissa

O log 50 é um número decimal que pode ser separado em duas partes. Uma parte inteira e outra decimal.

À parte inteira damos o nome de característica, à parte decimal denominamos mantissa.

Obtendo a Característica de um número real maior ou igual a um

A característica do logaritmo decimal de um número real maior ou igual a 1 é igual ao número de algarismos da parte inteira subtraída de uma unidade.

Como vimos, o número 50 possui dois algarismos na parte inteira, por isto a sua característica é igual a 1.

A característica do logaritmo decimal de 345,67 é igual a 2, pois na parte inteira este número possui 3 algarismos.

Obtendo a Característica de um número real maior que zero e menor que um

Para obtermos a característica do logaritmo decimal de um número real maior que zero e menor que um, contamos o número de zeros antes do primeiro algarismo diferente de zero. A característica é o valor simétrico desta contagem, ou seja, é a contagem com o sinal de negativo, já que o logaritmo decimal de um número menor que um e maior que zero é negativo.

Lembre-se que não existe logaritmo de número negativo.

Qual é a característica do log 0,000504?

Veja que o número 0,000504 possui um zero antes da vírgula e mais três depois dela e antes do primeiro algarismo diferente de zero que é o 5. Por isto a característica do número 0,000504 é -4.

Logaritmo na Forma Mista ou Preparada

A mantissa aproximada do log 0,000504 é 702431, então podemos dizer que o log 0,000504 = -4 + 0,702431, na forma mista.

Veja que na forma mista ou preparada, escrevemos a características e a mantissa como os termos de uma adição. Nesta forma também podemos expressar assim o logaritmo de log 0,000504:



Note que realizamos um traço sobre a característica negativa, semelhante ao vinculum utilizado na escrita de números romanos.

Logaritmo na Forma Negativa

Se você calcular o log 0,000504 em uma calculadora científica irá obter aproximadamente o seguinte valor:



Note que ele difere do valor considerado anteriormente. Por quê?

Porque anteriormente o log 0,000504 estava representado na sua forma preparada e agora ele está na sua forma negativa. Esta é a forma utilizada pelas calculadoras.

Convertendo Logaritmos na Forma Preparada para a Forma Negativa

Para conversão de em devemos tratar a característica e a mantissa separadamente.

A característica passa para -3 simplesmente se somando 1 ao -4 da parte inteira:



Em relação à mantissa subtraímos de 1 o 0,702431 referente à parte decimal:



O logaritmo resultante na forma negativa será a subtração das novas partes obtidas:



Caso só tenhamos a característica, isto é, a mantissa seja zero, a conversão é mais simples. na forma preparada é igual a na forma negativa.

Convertendo Logaritmos na Forma Negativa para a Forma Preparada

A conversão de em também e realizada se tratando a característica e a mantissa separadamente.

Da parte inteira -3 subtraímos 1, que resulta em -4 e escrevemos a característica utilizando o traço sobre este número sem o sinal de negativo:



é a característica na forma mista.

A mantissa é obtida subtraindo de 1 a parte decimal:



O logaritmo resultante na forma preparada será a junção da característica com a mantissa , ou seja:



No caso de números inteiros o procedimento é simplificado. Se ao invés de , tivéssemos apenas o inteiro , na forma preparada teríamos simplesmente .

Matemática na Música

1.Mundo Matemático

Qualquer movimento vibratório de ar na entrada do ouvido corresponde a um tom musical que pode ser sempre e de maneira única exibido como uma soma de um número infinito de movimentos vibratórios simples, correspondendo aos sons parciais deste tom musical. As primeiras componentes na Série Harmônica correspondem às freqüências associadas aos primeiros termos da Série de Fourier que determinam portanto razões de pequenos números inteiros relacionados às consonâncias pitagóricas, tanto uma corda como colunas de ar em instrumentos de sopro possuem a característica de vibrar não apenas como um todo, mas ainda simultaneamente como duas metades, três terços, quatro quartos e etc.

Do ponto de vista matemático, observa-se que a força de cada harmônico contribuirá para a construção da forma da vibração periódica que se relaciona com o timbre do som.

Nos instrumentos musicais, exploram-se e utilizam-se harmônicos de diversas maneiras, os instrumentos de sopro obtêm harmônicos de um determinado som soprando-o com maior intensidade, enquanto que os executantes de instrumentos de corda podem fazer uma única corda vibrar em seções correspondentes a determinado harmônicos, tocando levemente em pontos de máximo que inibem harmônicos inferiores.

2. Origem da Matemática e da Música

Em quase todos os povos da Antiguidade encontram-se manifestações destes dois campos em separados. O poder conquistador da música já se expressa na mitologia grega em Orfeu, cujo canto acompanhado de lira sustava os rios, amansava feras e movia pedras. A matemática também se faz presente desde os tempos mais remotos, por exemplo na contagem das coisas. A interação entre essas áreas torna-se fortemente manifesta a partir da necessidade de equacionar e solucionar problemas da consonância, no sentido de buscar fundamentos científicos capazes de justificar tal conceito.

Com relação à organização de escalas musicais, esta ocorreu de diversas maneiras em diferentes povos e épocas, porém com alguns aspectos em comum. Os gregos desenvolveram os tetracordes e depois escalas com sete tons.

Teóricos musicais como Pitágoras, Arquitas, Aristoxeno, Erastóstenes se dedicaram à construção de escalas desenvolvendo diferentes critérios de afinidade. Por exemplo, valorizando os intervalos de quinta perfeitas, bem como a utilização somente de números de 1 a 4 na obtenção das frações da corda para gerar as notas da escala, Pitágoras estabeleceu uma afinação utilizando percursos de quinta para a obtenção das notas da escala.

Arquitas constrói sua escala baseada em frações da corda resultantes de medias harmônicas e aritméticas daquelas encontradas por Pitágoras no experimento do monocórdio. Já Erastóstenes elaborou a diferenciação entre intervalos calculados aritmeticamente a maneira de Aristoxeno, de intervalos calculados pela razão.

2.1. O experimento do monocórdio e a música na escola pitagórica

Os primeiros sinais de casamento entre a matemática e a música surgem no século VI a.C. quando Pitágoras através de experiências com sons do monocórdio, efetua uma de suas mais belas descobertas, que dá à luz, na época, ao quarto ramo da matemática: a música.

Os principais teóricos musicais da escola Pitagórica foram Pitágoras e Filolau no período pré-clássico, bem como Arquitas, Aristoxeno e Aristóteles no período clássico.

Possivelmente inventado por Pitágoras, o monocórdio é um instrumento composto por uma única corda estendida entre dois cavaletes fixos sobre uma prancha ou mesa possuindo, ainda, um cavalete móvel colocado sob a corda estendida e a altura musical do som emitido quando tocada. Pitágoras buscava relações de comprimentos – razões de números inteiros – que produzissem determinados intervalos sonoros. Deu continuidade a seus experimentos investigando a relação entre o comprimento de uma corda vibrante e o tom musical produzido por ela. Este experimento de Pitágoras é a primeira experiência registrada na história da ciência, no sentido de isolar algum dispositivo para observar fenômenos de forma artificial.

Pitágoras observou que pressionando um ponto situado a ¾ do comprimento da corda em relação a sua extremidade – o que equivale a reduzi-la a ¾ de seu tamanho original – e tocando-a a seguir, ouvia-se uma quarta acima do tom emitido pela corda inteira. Exercida a pressão a 2/3 do tamanho original da corda, ouvia-se uma quinta acima e a ½ obtinha-se a oitava do som original.

A partir desta experiência, os intervalos passam a denominar-se consonâncias pitagóricas. Assim, se o comprimento original da corda for 12 e se a reduzirmos para 9, ouviremos a quarta, para 8, a quinta, para 6, a oitava.

 

Fonte: http://matematicamusical.blogspot.com.br/p/mundo-matematico.html

 

 

 

MATEMÁTICA e MÚSICA com o Pato Donald