O NÚMERO DE OURO E FIBONACCI
O fascínio pelo número de ouro, data de há mais de 2 000 anos. Os "antigos" aperceberam-se que a arte e a arquitetura baseadas na razão de ouro, eram invulgarmente agradáveis à vista. A razão de ouro começou por ser definida em termos geométricos
O número de ouro pode ser encontrado através da razão da largura e do comprimento de um retângulo de ouro.
Mas antes de prosseguirmos, iremos explicar o que se entende por retângulo de ouro.
Denomina-se retângulo de ouro, um retângulo que, quando é dividido em duas partes e em que uma dessas partes seja um quadrado, então o que resta terá que ser um retângulo com as mesmas proporções do retângulo inicial.
Consideremos então o seguinte retângulo de ouro:
Se retirarmos a este retângulo o quadrado de lado x ( o quadrado a ), obtém-se o novo retângulo de ouro (o retângulo b) de dimensões x e y – x. Repetindo a operação, obtém-se a seguinte sequência de retângulos de ouro (retângulo de cor amarela):
figura tirada de: http://forum.swarthmore.edu/dr.math/faq/faq.golden.ratio.html
O processo anterior pode-se realizar de forma inversa. Em vez de se ir dividindo o retângulo inicial num retângulo de ouro e num quadrado, partir-se-á de um quadrado de forma a obter sucessivos retângulos de ouro:
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figuras tiradas de: http://forum.swarthmore.edu/dr.math/faq/faq.golden.ratio.html
http://www.mcs.surrey.ac.uk/Personal/R.Knott/Fibonacci/fibnat.html
Como podemos observar pelo desenho, os números que vão aparecendo em cada novo quadrado, são números de Fibonacci.
Esta figura mostra, como se pode desenhar uma espiral, unindo quartos de círculos em cada novo quadrado (inscrito no retângulo de ouro). A espiral obtida é conhecida como a espiral de Fibonacci.
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O número de ouro tem o valor j = ( 1 + Ö 5 )/2 (= 1,618 033 989...)
Como se lembram da secção da Sucessão de Fibonacci, temos a seguinte sequência de números 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233....
Se dividirmos cada um destes números pelo seu antecedente, reparamos que essa razão vai tender para um certo valor.
Isto é, se fizermos F2/F1=1; F3/F2=2; F4/F3=1,5; F5/F4=1,6(6); F6/F5=1,6 e se continuarmos assim sucessivamente, obtemos a seguinte sequência de números:
1,000 000; 2,000 000; 1,500 000; 1,666 666; 1,600 000; 1.625 000; 1,615 385; 1,619 048; 1,617 647; 1,618 182; 1,617 978; 1,618 056; 1,618 026; 1,618 037; 1,618 033; ...
Então Fn+1/Fn aproxima-se cada vez mais de j(Phi)
Esta expansão decimal prolongar-se-á sem nunca se repetir (logo é um número irracional) número irracional).
De fato, quando se prolongam estas "razões de Fibonacci" indefinidamente, o valor gerado aproxima-se cada vez mais do número de ouro.
Para saber mais:
As maravilhas da seguencia de Fibonacci!
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