As Cônicas
Caso você não saiba, parábola, hipérbole e elipse são as chamadas curvas cônicas. Elas recebem esse nome porque resultam de cortes em um cone.
Ao cortar um cone na horizontal ou no sentido oblíquo obtemos um círculo ou uma elipse.
Veja:
ALGUMAS APLICAÇÕES DAS CÔNICAS
As cônicas desempenham um papel importante em vários domínios da física, incluindo a astronomia, a economia, a engenharia e em muitas outras situações, pelo que não é de estranhar que o interesse pelo seu estudo seja tão antigo.
Suponhamos que temos uma lanterna direcionada para uma parede, então o feixe de luz emitido desenhará nessa parede uma curva cônica. Este fato acontece porque o feixe de luz emitido pela lanterna forma um cone, e também porque a parede funciona como um plano que corta o cone formado. Dependendo da inclinação da lanterna relativamente à parede, assim se obtém uma circunferência, uma elipse, uma parábola ou uma hipérbole.
Certos candeeiros de cabeceira, cujo quebra luz é aberto segundo uma circunferência, desenham na parede uma hipérbole e no teto uma elipse.
Os Engenheiros da área da iluminação usam este fato, entre outros, para construírem
candeeiros, lanternas, etc
O som emitido por uma avião a jato supersônico tem a forma de um cone, pelo que, ao chocar com a Terra vai formar uma curva cônica. Assim, dependendo da inclinação do avião em relação à Terra, vamos obter elipses, parábolas ou hipérboles.
A audiometria usa este fato, entre outros, para saber a que distância da Terra o avião pode ultrapassar a barreira do som.
A superfície formada pela água dentro de um copo é elíptica, sendo circular apenas no caso em que o copo está exatamente na vertical, isto é, a superfície da água está alinhada com o nível, na horizontal.
Se girarmos o copo com um movimento rotativo sobre si próprio, a superfície do líquido nele inserido será a de um parabolóide.
Esta técnica é frequentemente usada para se obter este tipo de superfície.
Na astronomia, Kepler mostrou que os planetas do sistema solar descrevem órbitas elípticas, as quais têm o sol num dos focos.
Também os satélites artificiais enviados para o espaço percorrem trajetórias elípticas.
Mas nem todos os objetos que circulam no espaço têm órbitas elípticas. Existem cometas que percorrem trajetórias hiperbólicas, os quais ao passarem perto de algum planeta com grande densidade, alteram a sua trajetória para outra hipérbole com um foco situado nesse planeta.
Como a parábola é um caso de equilíbrio entre a elipse e a hipérbole (lembrando que a excentricidade da parábola é igual a um), a probabilidade de existir algum satélite com órbita parabólica é quase nula. Mas isso não impede a existência de satélites com esta trajetória.
Também as trajetórias dos projéteis, num ambiente sob a ação da força de gravidade, são parabólicas. Já no ambiente terrestre, onde existe a resistência do ar, essas trajetórias são elípticas, mais propriamente, arcos de elipses. No entanto, por vezes, as diferenças entre as trajetórias elípticas e as parabólicas são quase indetectáveis. A balística, ciência que estuda as trajetória de projéteis, faz uso deste fato para determinar o local da queda de um projétil.
No estudo dos átomos, um campo da Física e da Química, as órbitas dos elétrons em torno do núcleo são elípticas.
Fazendo uso da propriedade refletora da parábola, Arquimedes construiu espelhos parabólicos, os quais por refletirem a luz solar para um só ponto, foram usados para incendiar os barcos romanos quando das invasões de Siracusa.
A concentração de energia gera calor.
De fato, as propriedades refletoras das cônicas, de todas, e não somente as da parábola, tem contribuído para a construção de telescópios, antenas, radares, faróis de
navegação, faróis de carros, lanternas, etc
Na verdade, alguns dos objetos mencionados também obedecem à propriedade refratora das cônicas. Esta propriedade está intimamente ligada à propriedade refletora, pelo que os seus estudos são muito idênticos.
Só para dar uma amostra de objetos mais vulgares que usam a propriedade refratora das cônicas, menciono os seguintes: os óculos graduados, as lupas e os microscópios.
A partir da propriedade refletora das parábolas, os engenheiros civis construíram pontes de suspensão parabólica. Se imaginarmos os cabos que predem o tabuleiro da ponte como raios de luz, facilmente verificamos que o cabo principal, aquele que passa pelos pilares da ponte, tem forma de uma parábola.
As extremidades das asas do famoso avião britânico Spitfire, usado com grande sucesso na I Grande Guerra, eram arcos de elipses.
Embora a razão da sua escolha se prenda ao fato de se obter mais espaço para transportar munições, este tipo de asa diminuía a resistência do ar, favorecendo melhores performances ao avião em vôo.
O sistema de localização de barcos denominado por LORAM (LOng Range Navigation), faz uso das hipérboles confocais, onde os radares estão nos focos.
A idéia é baseada na diferença de tempo de recepção dos sinais emitidos simultaneamente pelos dois pares de radares, sendo um dos radares comum aos dois pares. O mapa assim construído apresenta curvas hiperbólicas.
Esta técnica foi usada na I Grande Guerra, para detectar barcos japoneses.
Na construção de usinas atômicas podemos observar que o hiperbolóide de uma folha gerado pela rotação de uma hipérbole em torno do seu eixo transverso é também gerado por uma reta. Ou seja, ele pode ser considerado como sendo formado por uma união de retas.
Assim, seu formato é usado na construção de centrais de energia atômica, onde barras de aço retilíneas (que têm alta resistência) se cruzam para obter estruturas extremamente fortes.
3.1 Na astronomia.
Durante muitos séculos as concepções sobre o universo eram, fundamentalmente: concepções geoestáticas, isto é, admitia-se que a terra estava fixa; concepções geocêntricas, pois considerava-se que a terra ocupava o centro do universo, movimentando-se o sol, a lua e as estrelas em torno dela.
Os astrônomos estavam convencidos que todos os astros se movimentavam à volta da terra as trajetórias dos outros planetas eram circunferências, ou curvas compostas por circunferências que rodavam uma sobre as outras.
Mesmo depois de Copérnico, que no século dezesseis formulou a teoria heliocêntrica, se acreditava que o "movimento natural" era o movimento circular e, por isso, os planetas deveriam seguir esse tipo de trajetórias à volta do sol. Foi o astrônomo e matemático alemão Johannes Kepler, em 1969, que descobriu que «cada planeta descreve uma elipse de que o Sol ocupa um dos focos» (1ª Lei de Kepler).
O interesse de Kepler pelas cônicas surgiu devido às suas aplicações na óptica e na construção de espelhos parabólicos.
Quando Kepler estava realizando um estudo preciso sobre o planeta Marte, tentou encontrar a circunferência que correspondia ao conjunto das posições que conhecia (baseando-se nos registros das observações astronômicas de Tycho Brahe, astrônomo dinamarquês com quem trabalhou), verificou que tal não era possível porque as posições conhecidas distribuíam-se por uma espécie de oval.
Para sua surpresa, Kepler constatou que as curvas estudadas pelos gregos, dezoito séculos antes, constituíam agora um modelo para a interpretação das trajetórias dos planetas. E não só regem os planetas naturais, cometas e asteróides, como todos os satélites artificiais e astronaves cujas trajetórias, podem, hoje, ser pré-estabelecidas pelos matemáticos, minuto a minuto. Kepler conclui que "o planeta Marte segue uma trajetória elíptica". Formula então a sua primeira lei.
É de notar que as órbitas dos planetas são, de um modo geral, de excentricidade muito pequena.
Anos depois, foi a partir das leis de Kepler que Newton, aplicando-lhes o seu cálculo diferencial, concluiu a Lei da Atração Universal, verificando ainda que os satélites efetuam também uma órbita elíptica em torno do seu planeta. Por exemplo: a órbita da Lua que descreve uma trajetória elíptica da qual a Terra é um dos seus focos.
As cônicas também descrevem trajetórias de projéteis, de pontos ou de partículas
atômicas elementares, em arcos, pontes, jactos de água
A lei da gravitação de Newton matematizou as descobertas empíricas de Kepler e, a partir do séc. XVII, o estudo analítico das cônicas e das suas aplicações aos movimentos no espaço, não cessou de se aperfeiçoar.
3.2 Em ótica e acústica.
A parábola ao rodar em torno do seu eixo de simetria, gera uma superfície parabólica ou parabolóide:
condições acústicas especiais em auditórios, teatros, catedrais,etc
As propriedades refletoras são geradas por cônicas, parabolóides, hiperbolóides e elipsóides; estas usam-se, por exemplo, nos espelhos e antenas parabólicas ou para criar
As seguintes propriedades da parábola e do parabolóide resultam do interesse dos espelhos parabólicos: Como receptor:
Todo o raio luminoso que incide num espelho parabólico, paralelamente ao eixo, reflete-se passando por um ponto fixo - o Foco. Como emissor:
Reciprocamente, todo o raio luminoso que incide no espelho parabólico passando pelo foco reflete-se paralelamente ao eixo.
Uma fonte luminosa no foco produz um feixe de raios paralelos, com um maior alcance. Pode usar-se para emitir feixes de ondas de rádio ou de outra natureza.
A primeira propriedade justifica o funcionamento dos espelhos parabólicos, dos fornos solares, das antenas parabólicas que captam ondas de rádio, de radar ou de outras ondas eletromagnéticas, como as antenas de TV ou as dos enormes rádios telescópios.
Conta-se que Arquimedes, durante o cerco de Siracusa, conseguiu incendiar naves romanas usando uns misteriosos espelhos, chamados "ustórios", que enchiam de pavor os sitiantes e os punham em fuga. Arquimedes já conhecendo as propriedades das cônicas, recorreu a um, ou vários espelhos parabólicos colocados de modo a concentrar os raios de Sol refletidos num só ponto, desviando-o depois para uma galera romana que começava a arder.
A segunda propriedade aplica-se em todos os faróis de navegação, de automóvel
e outros tipos de projetores.
Por exemplo, num farol parabólico de automóvel a luz emitida pela lâmpada colocada no seu foco é refletida nas paredes e «atirada» para fora, iluminando a estrada.
Outro exemplo, são os fornos solares constituídos por grandes espelhos parabólicos (existe um em França, com 54 m de comprimento e 40 m de altura constituído por 9500 espelhinhos de 45cm de lado).
No foco do espelho atinge-se uma temperatura de 3800 ºC, pois nele convergem os raios soares captados e refletidos pela sua superfície. Estas temperaturas são aproveitadas para conversões de energia, fusão, etc. No entanto as propriedades acústicas e ópticas não são exclusivas da parábola.
De fato, um raio que passe por um dos focos reflete-se na direção do outro foco, tanto na elipse, como na hipérbole.
3.3 Em Engenharia e Arquitetura.
Em Engenharia e Arquitetura (em pontes, pórticos, cúpulas, torres e arcos) usam-se os arcos das cônicas devido às suas propriedades físicas e até estéticas.
Um exemplo é o cabo de suspensão de uma ponte, quando o peso total é uniforme distribuído segundo o eixo horizontal da ponte, toma a forma de uma parábola (como se pode ver na figura da direita).
Outro Exemplo é a planta do Coliseu de Roma (como se pode ver na figura a seguir).
A hipérbole, ao rodar em torno de um dos eixos de simetria, gera uma superfície que tem o nome de hiperbolóide de revolução.
Nestas superfícies, as secções ao eixo de rotação são circunferências e as secções paralelas ao eixo são hipérboles.
Em 1669, Christopher Wren (arquiteto da catedral de S. Paulo) mostrou que o hiperbolóide de uma folha pode ser gerado pelo movimento duma reta e pode ser considerado como sendo formado por uma infinidade de retas (é uma superfície regrada).
O hiperbolóide de uma folha é usado na construção de centrais de energia, nomeadamente em centrais atômicas, que são regradas e podem ser reforçadas com barras de aço rectilíneas, que se cruzam por forma a obter estruturas extremamente fortes.
3.4 Na tecnologia atual.
Se nós ligarmos a televisão poderemos ver imagens "ao vivo" provenientes dos mais remotos sítios do mundo. Para nós isto é natural, mas há 25 anos era impossível.
De fato, só depois dos americanos terem lançado e colocado em órbita um satélite de comunicações, chamado Telstar, as imagens de televisão ao vivo de qualquer parte do mundo se tornaram possível.
Depois deste primeiro satélite muitos outros se seguiram, permitindo que os técnicos de comunicação emitissem ou recebessem sinais de televisão ou rádio, passando por estes satélites.
O grande problema das comunicações consiste em localizar e consertar o rasto de um satélite de comunicação no espaço, utilizando-se para isso antenas muito potentes e exatas, algumas delas com a forma de parabolóide.
Hoje em dia é muito comum vermos pequenas antenas parabólicas nos telhados e terraços, por forma a receber programas estrangeiros de televisão.
A construção destas antenas requer grandes conhecimentos de geometria e análise, algumas são constituídas por um grande refletor parabolóide cujo foco é comum a todas as parábolas que o geram. Como todos sinais que incidem no parabolóide paralelamente ao seu eixo se refletem para o foco, concentrando-se aí. Se no foco for instalado um aparelho receptor, o sinal será captado e tratado, consoante o fim a que se destina.
