MULTIPLICAÇÃO DE MATRIZES - Método"prático"

ENTENDA A DIFERENÇA ENTRE PERMUTAÇÃO, ARRANJO E COMBINAÇÃO

As principais ferramentas da Análise Combinatória são a Permutação, o Arranjo e a Combinação, mas muitos estudantes se confundem na hora de decidir qual delas utilizar para resolver um problema específico. 

Aqui, vamos explicar as características de cada uma e quando devem ser utilizadas. 

Uma permutação de n elementos distintos é um agrupamento ordenado desses elementos. 

Pode ser calculada pela fórmula Pn=n!. Ela deve ser utilizada quando você quiser contar quantas possibilidades existem de se organizar um número de objetos de forma distinta, por exemplo: 

• O número de anagramas da palavra LIVRO é uma permutação de 5 elementos, calculada através de 5+ = 5 . 4 . 3 . 2 . 1 = 120, pois para a primeira posição você pode colocar 5 letras; para a segunda, restaram 4, para a terceira, 3 e assim por diante; 

• O número de filas que podem ser formadas com 25 pessoas é 25!, pois para o primeiro lugar da fila temos 25 possibilidades, para o segundo 24 e assim por diante. 

Um arranjo de n elementos dispostos p a p, com p menor ou igual a n, é uma escolha de p entre esses n objetos na qual a ordem importa.
O exemplo mais clássico de arranjo é o pódio: em uma competição de 20 jogadores, quantas são as possibilidades de se formar um pódio com os três primeiros lugares? Note que, neste problema, queremos dispor 20 jogadores em 3 lugares, onde a ordem importa, afinal o pódio formado por João, por Marcos e por Pedro não é o mesmo formado por Pedro, por Marcos e por João. 

Outro exemplo é o número de possibilidades de se formar uma foto com n pessoas.

Perceba que as permutações nada mais são do que casos particulares de arranjos onde n = p. 

As Combinações de n elementos tomados p a p são escolhas não ordenadas desses elementos, calculadas por Um exemplo clássico é quando queremos formar uma comissão de 3 pessoas escolhidas entre 10 pessoas. Diferentemente do pódio do exemplo anterior, uma comissão formada por João, por Pedro e por Maria é a mesma comissão formada por Maria, por Pedro e por João.

  ARRANJO

  COMBINAÇÃO

Dicas - Estatística - Médias, Moda, Mediana, Variância e Desvio-Padrão

Clique aqui:

Médias, Moda, Mediana, Variância e Desvio-Padrão

Olá alunos da 3 Série EM - Este vídeo é muito bom! Linguagem simples!

 

 

Matemático Heron

Heron de Alexandria:

Um pouco de história

Heron de Alexandria - (também escrito como Hero, Hierão, Heron, e Herão, 10 d.C. - 70 d.C.) foi um sábio matemático e mecânico grego, do começo da era cristã (século I).

Geômetra e engenheiro grego, Heron esteve ativo em torno do ano 62. É especialmente conhecido pela fórmula que leva seu nome e se aplica ao cálculo da área do triângulo. Seu trabalho mais importante no campo da geometria, Metrica, permaneceu desaparecido até 1896. Ficou conhecido por inventar um mecanismo para provar a pressão do ar sobre os corpos, que ficou para a história como o primeiro motor a vapor documentado, a eolípila.

É de sua autoria um tratado chamado Métrica, que versa sobre a medição de figuras simples de planos sólidos, com prova das fórmulas envolvidas no processo. Tratava da divisão das figuras planas e sólidas e contém a fórmula de Herão (embora esta talvez tenha sido descoberta por Arquimedes) para o cálculo da área de um triângulo e um método (já antecipado pelos babilônios) de aproximação a uma raiz quadrada de números não quadrados.

Sua Mecânica foi preservada pelos árabes e anuncia a regra do paralelogramo para a composição de velocidades. Determina os centros simples de gravidade e discute as engrenagens pelas quais uma pequena força pode ser usada para levantar grandes pesos.

A Catoptrica trata da reflexão da luz por espelhos e demonstra que a igualdade dos ângulos de incidência e reflexão num espelho seguem o princípio de sua fonte ao olho do observador pelo caminho mais curto. Também lhe são atribuídas invenções de diversas máquinas, entre as quais a fonte de Herão e a eolípila (aparelho para a medição dos ventos).

O robô mais antigo do mundo não tinha, naturalmente, cérebro de silício nem era movido a eletricidade — era capaz não apenas de andar como até de apresentar um "teatrinho".

Quem está desenterrando detalhes sobre o autômato do século I d.C. é o cientista da computação britânico Noel Sharkey, da Universidade de Sheffield.

Sharkey vasculhou as obras teóricas de Heron de Alexandria, o criador do autômato, e diz ter descoberto que se trata da primeira máquina guiada por um programa pré-estabelecido ( tal como os computadores modernos).

Sem disco rígido ou memória RAM, a “programação” era incorporada ao robô por meio de cordas, que eram enroladas em determinada seqüência em torno dos eixos de suas rodas dianteiras.

A força motriz vinha do trigo: na parte de trás do autômato, a corda que estava enrolada em torno dos eixos ficava presa a um peso, que por sua vez ficava no alto de um tubo cheio de grãos do cereal.

O tubo tinha um furo, do qual os grãos iam caindo aos poucos, baixando cada vez mais o peso e fazendo os eixos rodarem, movimentando o robô.

Heron, que foi contemporâneo de Jesus Cristo e dos primeiros apóstolos, caprichou na sua invenção: o robô que era capaz de realizar movimentos complexos sem intervenção humana, como ir para frente e para trás automaticamente, cumprindo uma rota pré-determinada, e até mesmo fazer uma pausa em sua "caminhada" e depois retomar o movimento.

Esta não é a primeira vez que Heron ganha fama de pioneiro tecnológico. Relatos sobre o inventor dão conta de que ele criou a primeira máquina de vender bebidas da história, na qual a pessoa colocava uma moeda nela e recebia um jato de água. Água benta, nos templos. Heron era contratado por sacerdotes que queriam seus templos "automatizados" de modo a impressionar os fiéis, e deles tirar dinheiro.

 

Fonte: Wikipédia, a enciclopédia livre

Página SUPER interessante!!!

Que importância têm os números imaginários na nossa vida?

 

Apesar de se provar a existência dos números complexos, eles continuam a ser estranhos para nós, pois têm menos relação com o mundo real que os outros números já nossos conhecidos. Um número imaginário não serve para medir a quantidade de água num copo nem para contar o número de dedos que temos!

No entanto, existem algumas medidas no nosso mundo onde os números imaginários são medidores perfeitos. Um campo eletromagnético é um exemplo: tem uma componente eléctrica e outra magnética e por isso, é preciso um par de números reais para descrevê-lo. Este par pode ser visto como um número complexo e encontramos, assim, uma aplicação direta na Física, para a estranha regra da multiplicação de números complexos.

Existem poucas aplicações diretas dos números complexos no dia-a-dia. No entanto, há muitas aplicações indiretas.
Muitas propriedades dos números reais só se tornaram conhecidas quando estes foram vistos como parte do Conjunto dos Números Complexos.

É como tentar perceber uma sombra.
Uma sombra pertence a um mundo a duas dimensões. Portanto, só lhe é aplicável conceitos que utilizem duas dimensões.
No entanto, pensarmos no objeto de três dimensões que a provoca  poderá ajudar-nos a perceber certas propriedades do mundo a duas dimensões, apesar de não haver aplicação direta de um mundo no outro.

Da mesma forma, mesmos não existindo aplicação direta entre o mundo real e os números complexos, estes poderão ajudar-nos a compreender muita coisa do nosso mundo.

A próxima analogia ajudará a perceber melhor.

Consideremos a População A com 236 pessoas, das quais 48 são crianças e a População B com 123 crianças em 1234 pessoas.
Efetivamente, 48/236 (aprox. 0,2) é maior que 123/1234 (aprox.0,1). Portanto, a Pop. A é mais nova que a Pop. B.

Neste exemplo são usadas fracções, números não inteiros, num problema onde não têm significado físico. Não podemos medir populações com fracções; não podemos ter meia pessoa, por exemplo! Os números que têm ligação direta com esta questão são os naturais.

As fracções, neste contexto, são tão estranhas como o são os complexos na maioria das medições do mundo real.
No entanto, o seu uso servir-nos para melhor entender uma situação do mundo real.

Da mesma forma, o uso dos complexos ajuda-nos a compreender vários acontecimentos que, diretamente, só se relacionam com os números reais.

Por exemplo, em Engenharia, é usual ter de se resolver equações da forma y'' + by' + cy = 0, para a função desconhecida y.
Uma forma de resolver passa por achar as raízes do polinómio, em r, r² + br + c = 0. Mas, sucede diversas vezes não conseguirmos achar raízes reais e só encontramos complexas. O que se faz é achar todas as raízes no conjunto dos números complexos e depois considerarmos apenas aquelas que, afinal, são reais.
No início e no fim só consideramos reais mas, pelo meio os complexos foram precisos.

Uma vez que este tipo de equações (chamadas Equações Diferenciais) surgem constantemente em problemas que representam o mundo real, por exemplo em Engenharia, podemos afirmar que os números complexos têm utilidade na nossa vida.